Cibergrafia
miércoles, 29 de marzo de 2017
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Caso 7 de Factorización
Suma y Diferencia de Cubos Perfectos
Este tipo de factorización se aplica
solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término
puede ser positivo o negativo. Es fácil de reconocer porque los coeficientes de
los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz
cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los
exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.).
Para realizar este tipo de factorización se realiza el siguiente procedimiento:
1) Se extrae la raíz cúbica de cada
término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: 3√8
= 2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo: 3√x6
= x2; 3√y9 = y3 ; 3√w3
= w ). Esto se justifica por la propiedad de la radicación: n√am
= am / n.
2) Se abren dos grupos de paréntesis
(conectados entre sí por multiplicación).
3) En el primer paréntesis (llamado FACTOR
CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En
el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los
términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero
al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último el segundo al
cuadrado.
4) Se definen los signos, de la
siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo
positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo.
Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en
el factor largo van signos positivos.
5) Los siguientes son los modelos que
resumen lo anterior:
Suma de Cubos:
a3 + b3 = (a + b) (a2
– ab +b2)
Diferencia de cubos
a3 - b3 = (a - b) (a2
+ ab +b2)
Ejemplos:
1)
27x3 +
125y9 → 3√27x3 = 3x; 3√127y9 = 5y3
27x3
+ 125y9 = (3x + 5y3) [(3x)2 – (3x)(5y3)
+ (5y3)2] = (3x + 5y3) (9x2 – 15xy3
+ 25y6)
2)
64p15 –
343t6 → 3√64p15 = 4p5; 3√343t6 = 7t2
64p15
– 343t6 = (4p5 - 7t2)[(4p5)2
+ (4p5)(7t2) + (7t2)2] = (4p5
– 7t2) (16p10 + 28p5t2 + 49t4)
Ejercicios
1)
8x3 +
216y3
2)
81x4y -
192xy4
3)
27a3 – 8
4)
X3 + 1
5)
64x3 +
125
6)
y3 – 27
7)
t3 – 1
8)
8x3 + 27
Caso 6 de Factorización
Trinomio
de la forma ax2n + bxn + c
En este caso el trinomio debe estar organizado en
forma descendente, el coeficiente principal (es decir, del primer término) debe
ser positivo y diferente de uno (a≠1) y el grado (exponente) del primer término
debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término. Para efectuar la
factorización por este método es necesario llevar a cabo los siguientes pasos:
1) Se debe multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente
principal, es decir, a.
2) En el numerador se efectúa la propiedad
distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se
realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan
agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
3) Es necesario expresar el primer término como el
cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.
4) Se aplica el caso 5 (Trinomio de la forma x2n
+ bxn + c) en el numerador.
5) Se aplica el caso 1 (Factor común) en los
paréntesis formados.
6) Se simplifica la fracción (para
eliminar el denominador)
Ejemplos:
1)
Factorizar: 6x2 +
5x – 4 = 6 (6x2 + 5x – 4) = (36x2 + 5(6x) – 24) = (6x)2
+ 5(6x) – 24)
6
6
6
6x2 + 5x – 4
= (6x + 8) (6x - 3) = 2 (3x +
4) 3 (2x - 1) = (3x + 4) (2x - 1)
6 6
2)
Factorizar: 4x2 -
24x + 11= 4(4x2 – 24x + 11) = (16x2 –24(4x)+44) = (4x)2
- 24(4x) + 44)
4
4 4
4x2
- 24x + 11= (4x – 22) (4x – 2) = 2
(2x – 11) 2 (2x – 1) = (2x – 11) (2x
- 1)
4 4
Ejercicios
1) 9x² + 6x – 3
2) 16x² – 48x + 35
3) 3m² + 8m + 5
4) 13y² – 7y – 6
5) 21a² + 11a – 2
6) 30p² + 17pq – 21q²
7)
4x² - 7x – 2
8)
18x² - 17x -187
9)
9x² - 81x + 50
10) 6x² + 17x +
10
Caso 5 de Factorización
Trinomio
de la forma x2n + bxn + c
En este caso de factorización el trinomio debe
estar organizado en forma descendente. Además el coeficiente del primer término
debe ser uno (1). El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del
grado (exponente) del segundo término. Para realizar esta factorización se
debe:
1) Abrir dos grupos de paréntesis.
2) Extraer la raíz cuadrada al primer término y se
anota al comienzo de cada paréntesis.
3) Definir los signos: el signo del primer
paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término;
el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del
segundo y tercer término.
4) Se buscan dos cantidades que multiplicadas den
como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den
como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
5) Se anotan las cantidades que satisfacen las
condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus
lugares respectivos.
Ejemplos:
1) Factorizar: x2 – 2x
– 15 → ( ) (
) → (√x2 = x)
x2
– 2x – 15 = (x
) (x ) = (x –
) (x + ) = (x –
5) (x + 3)
2) Factorizar: x4 +
11x2 + 28 → ( ) ( )
→ (√x4 = x2)
X4
+ 11x2 + 28 = (x2 ) (x2 ) =
(x2 + ) (x2
+ )
= (x2 + 7) (x2
+ 4)
Ejercicios
1) x2 – 7x + 12
2) a2 + 13a + 12
3) x2 – 5x – 14
4) x2 + 4X + 3
5) x2 – 6X – 40
6) x2 + x + ¼
7) x2 – 9X
+ 8
8) x2 + 8x + 12
9) x2 + 5X + 6
10) x2 + 5X – 84
Caso 4 de Factorización
Trinomio
Cuadrado Perfecto (TCP)
Para poder realizar la factorización de este tipo el
trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de
las dos), tanto el primero como el tercer término deben ser positivos.
Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben
tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término
deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia
de Cuadrados Perfectos (Caso 3).
Para factorizar por este caso se debe realizar el
siguiente procedimiento:
1) Primero se debe verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP).
Para ello se extrae la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.
2) Se realiza el doble producto de las raíces obtenidas y se compara con el segundo
término (sin fijarse en el signo de éste). Si efectivamente da, entonces se
tiene un TCP.
3) La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando
las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del término.
Ejemplos:
1) Factorizar: 4x2 +
12xy2 + 9y4 → √4x2
= 2x; √9y4 = 3y2; 2 . 2x . 3y2 = 12xy2
4x2
+ 12xy2 + 9y4 = (2x
+ 3y2)2
2) Factorizar: 25m4 –
40 m2 +16 → √25m4 = 5m2; √16 = 4;
2 . 5m2 . 4 = 40m2
25m4
– 40 m2 +16 = (5m2 - 4)2
Ejercicios
1) m2 + 2m + 1
2) 4x2 + 25y2
– 20xy
3) 1 – 16ax2 + 64a2x4
4) 9x2 -12xy + 4y2
5) 4x2 + 4xy + y2
6) x2 + x + ¼
7) a2
- 3 ab + 9b2
16 2
Caso 3 de Factorización
Diferencia
de Cuadrados Perfectos
Se aplica solamente en binomios, donde el primer
término es positivo y el segundo término es negativo, para reconocer y utilizar
este caso se debe seleccionar una ecuación en la cual los coeficientes de los
términos sean números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada
exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,
289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares
(2, 4, 6, 8n, 10m, 16b, etc.)
Para realizar este caso de factorización se debe
realiza el siguiente procedimiento:
- Se
extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz
cuadrada normalmente (por ejemplo: √81 = 9) y a las letras, su exponente se
divide entre 2 (por ejemplo: √x6 = x3; √m8 = m4).
Esto último se fundamenta en la propiedad de la radicación: n√am = a m \ n.
-
Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre
sí por multiplicación).
- Las
raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada
paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir,
se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA).
Ejemplos:
1) a2 – b2
→ √a2 = a; √b2 = b
a2
– b2 = (a + b) (a – b)
2) 49x4y2 –
64w10 z14 → √49x4y2 = 7x2y;
√64w10 z14 = 8w5z7
49x4y2
– 64w10 z14 = (7x2y
+ 8w5z7) (7x2y - 8w5z7)
Ejercicios
1) 9x2 – 4y4
2) 25x2 – 16a2b2
3) x4 – 16
4) x2
– y2
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