Caso 7 de Factorización

Suma y Diferencia de Cubos Perfectos

Este tipo de factorización se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término puede ser positivo o negativo. Es fácil de reconocer porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.). Para realizar este tipo de factorización se realiza el siguiente procedimiento:

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: ³√8 = 2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo: ³√x⁶ = x²; ³√y⁹ = y³ ; ³√w³ = w ). Esto se justifica por la propiedad de la radicación: ⁿ√a^m = a^{m / n}.

2) Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).

3) En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último el segundo al cuadrado.

4) Se definen los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.

5) Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior:

Suma de Cubos:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab +b²)

Diferencia de cubos

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab +b²)

Ejemplos:

1)  27x³ + 125y⁹ →  ³√27x³ = 3x;  ³√127y⁹ = 5y³   

27x³ + 125y⁹ = (3x + 5y³) [(3x)² – (3x)(5y³) + (5y³)²] = (3x + 5y³) (9x² – 15xy³ + 25y⁶)

2)  64p¹⁵ – 343t⁶ →  ³√64p¹⁵ = 4p⁵;  ³√343t⁶ = 7t²   

64p¹⁵ – 343t⁶ = (4p⁵ - 7t²)[(4p⁵)² + (4p⁵)(7t²) + (7t²)²] = (4p⁵ – 7t²) (16p¹⁰ + 28p⁵t² + 49t⁴)

Ejercicios

1)  8x³ + 216y³

2)  81x⁴y  -  192xy⁴

3)  27a³ – 8

4)  X³ + 1

5)  64x³ + 125

6)  y³ – 27

7)  t³ – 1

8)  8x³ + 27